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20140618读书-讨论分形的自然-08

来源:扶风 发布时间:2014-8-30 13:05:01
北京-坤山:我们开始《东辕西辙》第八次的讨论,今天的主题是“分形”,这次讨论之后,我们下次准备做一次回顾,把前面的内容再复习一下,然后我们会选择霍金的《时间简史》的一部分内容一起学习一下。前面主要是复杂系统科学方面的内容,而时间简史主要是物理学的内容了。我感觉要回答“小西”的一些疑问,这两方面的内容都是需要的。讨论完时间简史,我们会回到小东小西的讨论上再看看能有什么收获。
我们先看两张图片,一张是通过电脑特技自动生成的,而另一个是实际拍摄的照片。您能分出哪个是真,哪个是假吗?
061801.jpg

061802.jpg
李海榕:看不出来,都像真的。
宁波—珊瑚:第一张真的。
上海-常愧:看不出来。
哈尔滨-瑛紫:第一。
北京-坤山:正确答案是:第一张是照片,第二张是电脑特技。我第一次看到这两张图片的时候猜错了。
宁波—珊瑚:呀,我觉得直觉第一张就是真的呀,不用猜吧。
山西-阳光之旅:我看了也猜错了。
北京-坤山:经常看美国大片的朋友都知道如今的电脑特技已经达到了逼真的水平,但是可能很少有人知道特技背后的主要支撑技术之一就是我们上次讨论的混沌和这次要讨论的分形。
分形的英文是Fractal。分形是微观混沌机制不断重复后产生的一种看似随机,但是又有着不同尺度下几何自相似性的现象。呵呵,这个定义又有点儿绕。其实就是说图形的局部和整体看起来很相似。
我们看几个自然界中分形的例子:
061803.jpg
这个应该是一个流域的卫星图,分形主要指这个区域。
061804.jpg
当然海岸线本身也是分形的。
061805.jpg
061806.jpg
水流也有很多分形的特征,即放大后看起来还是很相似
061807.jpg
闪电是典型的分形图案
061808.jpg
菜花也是
061809.jpg
植物很多有有分形的特点
061810.jpg
上面的图片都具有一定程度的,不同的尺度上的“自相似”性。
上海-常愧:小周天,大周天。
北京-坤山:即你可以把图形的一个区域放大,放大后看到的现象和原来整体看到的现象很相似。
山西-阳光之旅:可别提小周天大周天了,误伤了不少的人。
北京-坤山:呵呵,这个联想我还真没想到。
下面我们看一个数学模型生成的分形的图案,如著名的曼德勃罗集分形图案,无论怎么放大,看起来都是类似的。曼德勃罗是现代分形学的创始人,感兴趣的同修可以去网上搜索一下。有时候学习一个东西,了解一些历史也蛮有意义的。
李海榕:中国人说以形补形应该有道理吧,相似的东西,性质也相近?
北京-坤山:嗯,海榕这个说的也有道理。
061811.jpg
红框部分放大后是这样的:
061812.jpg
继续放大到30倍:
061813.jpg
350倍:
061814.jpg
山西-阳光之旅:就好比人类其中的一个大家族。
北京-坤山:大家可以看到同样的图形在不同的尺度上不断的重复着。
美国-扶风:复制?
上海-常愧:更像是一一毫端现尘刹。
北京-坤山:我以前是搞地理信息的,其实城市的地图本身也有分形的特征。
哈尔滨-瑛紫:不是完全的一样。
宁波—珊瑚:分形,是不是也可以解释遗传方面呢?
北京-坤山:嗯,大家说的都有关系,我感觉。我们上一次讨论混沌时看到的分岔图,其实本身也是一个具有自相似特征的分形图案。
山西-阳光之旅:同意复制。
北京-坤山:
061815.jpg
这个图形放大后也有自相似性。分形图案乍看起来除了自相似之外,好像也没有什么特别的地方。但是深入研究会发现,分形图案有一些非常反常的特征。
山西-阳光之旅:复制也是相近性不完全一样,世上就没有完全一样的个体。
北京-坤山:所谓反常,就是和我们大部分人约定俗成的概念不太一样。比如现代分形理论创始人曼德勃罗曾经写过一篇论文,题为“英国海岸线有多长?”。他在这篇论文给出的结论是英国海岸线的长度是无限长的。这从经典几何学的角度来看,显然是在胡说八道的,与我们的日常的直觉理解也是背道而驰的。
我们这里就看一看这个无限长是怎么得来的。曼德勃罗在论文中指出,很多自然现象,比如英国的海岸线都满足分形的特征,即无论你怎么放大,它都表现出相似曲线的特征。所以随着衡量尺度的不但细化,海岸线的长度会不断的增加。如果我们用无限细致的尺度去衡量英国的海岸线,那么它的长度就是无限长的。
下面这个图是上面的概念的演示:
061816.jpg
宁波—珊瑚:相对条件下。
美国-扶风:不明白。
北京-坤山:看上面这个图,就是三种尺度下的衡量,结果就是不一样的。最右边的尺度最细,量出来的结果也最长。
山西-阳光之旅:必须具备一定的条件下才能出现这样的状况。
北京-坤山:这样说明白了吗?
宁波—珊瑚:明白了。就是有条件下测量才会最长。
北京-坤山:因为是分形曲线,所有理论上放大到无限小,都还是会打弯的,所以理论长度是无限长的。
宁波—珊瑚:有一定道理呀。
上海-常愧:尺度越细密海岸线越长。
美国-扶风:明白了。
北京-坤山:嗯。当然无限细致的尺度是否有极限,我们不得而知,也许到了量子物理的层面,无法超越普朗克尺度的限制。
云卷云舒:普朗克尺度是神马?
美国-扶风:好可怕。
北京-坤山:普朗克是量子力学的概念,我们后面会讨论到。等时间简史的时候再深入吧,普朗克类似于一个最小尺度一样,小于这个尺度我们知道的所有自然规律就不管用了。
美国-扶风:不适用。
北京-坤山:是的。很多人猜测从这里可以进入其他的时空。我们回到正题啊。
上海-常愧:为什么不适用?
山西-阳光之旅:无形中的乱形,乱形中的分形,分形到重入,重入中无限到无形。
北京-坤山:科学家也不知道为什么不适用。只是从实验上看,就是这样的。
美国-扶风:我觉得是某个点后,突破了。不同能量级别,对应不同的显相世界。
北京-坤山:量子力学很多东西现在也解释不了,但是符合实验结果,所以就先这么用着。当然无限细致的尺度是否有极限,我们不得而知,也许到了量子物理的层面,无法超越普朗克尺度的限制。但是当我们用非常小的尺度去衡量英国海岸线的时候,至少我们得出的长度要比一般认为的海岸线长度多非常多倍。
上海-常愧:没有更合理的假设了。
宁波—珊瑚:我懂了,我看过显微镜下的东西,比如洋葱切片也可以非常优美。
北京-坤山:这个等我们讨论《时间简史》的时候再展开了,里面有量子力学的内容。我们再看一个理想科克曲线的例子。科克曲线也是一个著名的分形曲线。
061817.jpg
科克曲线的定义是这样的:“设想一个边长为1的等边三角形,取每边中间的三分之一,接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形,结果是一个六角形。现在取六角形的每个边做同样的变换,即在中间三分之一接上更小的三角形,以此重复,直至无穷。外界的变得原来越细微曲折,形状接近理想化的雪花。”
山西-阳光之旅:其实这样的实验也是寻找唯物的心在哪里。
北京-坤山:虽然科克曲线是一条和自己永远不相交的一维封闭曲线,但是由于它的分形结构,它的长度却是无限长的。这种有限纳无限的现象,对于我们学习经典几何长大的人来说,的确是有点儿震撼的效果。这让我们开始怀疑,我们所谓的有限,到底是真的有限,还是我们的感官和思维创造的一种假象。换句话说,分形几何挑战了我们关于点线面的经典理解。
宁波—珊瑚:看来没有有限,是这样。
山西-阳光之旅:用科学实验来找无形的心怕是人类在灭度之前是找不到了。
北京-坤山:因为分形几何的这种超出普通几何形状的数学特点,科学家们定义了一个分形维数的概念。比如上面的科克曲线的分形维数是1.26。一般来说一条曲线的维度都是1,曲面的维度是2,但是分形曲线既不是经典的曲线,也不是曲面。这也是为什么它在有限空间内可以无限长的原因。
作为一个可以是小数的维度衡量,分形几何突破了传统意义上的点线面体的概念,比如一个分形维度是1.9的曲线会非常像一个面,而一个分形维数是2.9的面,看起来会非常像是一个三维立体的东西。
061818.jpg
比如这个曲线就是一条分形维数等于1.67的曲线。这个远看就有点儿面的感觉了。
云卷云舒:还真像一个面。
北京-坤山:那么自然界中为什么存在那么多分形结构呢?它们是怎么产生的呢?研究发现分形结构往往是微观混沌机制的大量重复迭代后的结果。比如我们上次讨论看到的虫口模型反复重入后就可以涌现分岔图这样的分形结果。
在分形算法发明之前,想用电脑制作出云彩,溪流,海洋,山脉,树木等自然景观的仿真图形,是非常困难的事情。
以前这些基本上都要依赖于手工绘制,现在计算机可以非常轻松的制造逼真的自然景观,这都要归功于混沌和分形算法的普及。
061819.jpg
比如下面这个图形就是通过简单的递归(重入)算法自动实现的。
061820.jpg
这个叶子的形状很逼真了。
山西-阳光之旅:现在的电脑也是经过多重入的分形所以才制作出逼真的画面?
北京-坤山:是的。当然也还有美工的部分,不过很多逼真的纹理和形状仿真都有算法的支撑。
山西-阳光之旅:它有个框架的重入分形然后逐步进入内部结构在重入分形。
北京-坤山:下面我们再看一下彩色的曼德勃罗集的例子。这个图案是通过反复应用下面这个公式,然后把状态分岔图形化后得到的。具体过程我们就省略了,感兴趣的同修可以去网上查一下。
061821.jpg
哈尔滨-瑛紫:不断地重入。
新疆-边际:分形似乎暗示了一点世界的奥秘,简单创造了复杂。
北京-坤山:这个模型和我们上次分析的虫口模型很相似,都是递归模型,即重入模型,不过这次的Z都是复数。
长春-希夷:迭代。
北京-坤山:对,也叫迭代。
山西-阳光之旅:复杂只是我们自己的色相决定。
北京-坤山:
061822.jpg
这个是整体的样子。放大“脑袋”和“身体”中间的“脖子”的地方,会看到下图所谓的“海马山谷”。
061823.jpg
再放大,可以看到左侧的“双螺旋”和右侧的“海马”:
061824.jpg
再放大其中一个海马:
061825.jpg
再放大到“海马的尾巴”:
061826.jpg
长春-希夷:无限细分。
美国-扶风:好像花的叶子也是这样。
北京-坤山:再继续放大四次:
061827.jpg

061828.jpg

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哈尔滨-瑛紫:还是海马。
新疆-边际:无以言表。
李海榕:万花筒。
北京-坤山:嗯,万花筒的工作原理和这个应该也有关系。不断的反射应该是类似于重入的机制,最后这张图和第一张图之间的比例是1亿倍。我们在这张图上又看到了第一张图上的图形,再放大下去又会看到刚才看到的所有现象。
山西-阳光之旅:就好比镜子照镜子没完没了。
云卷云舒:轮回。
北京-坤山:是的
山西-阳光之旅:只是我们的视觉感觉上越看越小在看就没了其实只是我们视觉的错觉。
上海-常愧:这个图形到底是什么?
北京-坤山:这个叫做“曼德勃罗集”,是曼德勃罗研究后普及的一个分形图形。
李海榕:小时候很喜欢看万花筒,百看不厌,觉得很神奇。后来拆开看,发现就是几块彩色玻璃,十分失望。
上海-常愧:人造的不算,要大自然的。
新疆-边际:一个图都这样复杂,怪不得世界如此真实,我现在感觉世界不真实了。
山西-阳光之旅:人是大自然的。
陕西-紫阳道人:……里面有阴阳的,统一性,和对立性。
山西-阳光之旅:你说人造的是不是大自然的。
北京-坤山:http://baike.baidu.com/view/1777568.htm?fr=aladdin
上海-常愧:那还能画个不一样的呢。
陕西-紫阳道人:即使放大千万亿倍还是同样的原理。
北京-坤山:这个图形可以无限放大下去,因为是无限递归的。实际物理上,可能还是会有一个最小的尺度。
陕西-紫阳道人:嗯,没有尺度了。
山西-阳光之旅:返璞归真就是这样来的。
陕西-紫阳道人:即使在小的尺度,基本都是同样,只是分化的不一样。
北京-坤山:有可能。好的,我们继续。
在欣赏过美国大片和奇妙的曼德勃罗集的分形图案之后,我们也许应该反思一下:混沌和分形算法背后的重入反馈机制是否真的是自然界包括我们自身的一种根本机制?
二阶控制论的面包圈反馈模型,在讨论了混沌和分形后,虽然还有诸多问题没有解决,但是看起来好像更靠谱一点儿了。就是刚才有的同修说的“以简奴繁”。至少我们现在知道简单的反馈机制不断的重复,就可以产生千变万化的复杂现象。这些复杂现象看似随机,不可预测,但是背后却可以有简单的规律可循。而且这些由简单重入产生的复杂现象有着多尺度上的自相似性,就如同我们在自然界中看到的一样。
061831.jpg
这张图案是什么?大脑的神经元网络?还是宇宙中包括暗物质和暗能量后的一个星系分布图?还是真空的量子泡沫(时空泡沫)?
李海榕:都有可能。
北京-坤山:是的,答案是都可以是,因为三者看起来都是非常相似的。后面的两个概念,我们看了时间简史可能会清晰一些。目前就可以理解为最大尺度和最小尺度就行了。这种从微观极小尺度的“真空”,到人脑神经网络,再到宇宙星系尺度的自相似性,令人惊叹!
新疆-边际:确实惊人。
北京-坤山:从前面神经网络的讨论中我们知道,我们的感官和思维的许多功能都是简单的微观机制导致的宏观网络上的涌现现象。结合宇宙的自相似性,我们不得不怀疑大部分人对于宇宙人生的直觉到底有多(不)靠谱?
我们真的是独立于环境的个体生命,与其他的个体生命一起生活在一个由物质组成的浩瀚宇宙中吗?还是如同东方智慧说的:万物皆有灵性,同根同体,个体生命不过是一种假象和妄想?
可能不同的人有不同的答案吧。
山西-阳光之旅:两者都可以。
北京-坤山:我们的小西可能还是不太满意,因为毕竟前面看到的混沌和分形都是一些理论性的分析。所以我们下次盘点一下,然后进入物理学的内容,看看时间,空间,物质,能量这些概念的本质和我们的理解是否一样。
今天的内容就这些了。


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