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20140613读书-讨论混沌与生命-06

来源:扶风 发布时间:2014-8-30 13:02:04
北京-坤山:好的,我们开始今天的讨论。
本来计划讲完控制论转向时间简史的一些内容,不过后来和大家讨论的时候,突然意识到混沌和分形还是很重要的一些细节内容。
前面我们看到二阶控制论的建构主义把生物体和世界看成是一个二维的反馈环路,画出来就像是个面包圈。当时我们问了一个问题:这么简单的一个反馈环路如何产生那么复杂的现象世界?这次我们通过混沌理论看看简单的反馈环路是如何产生复杂行为的,作为试图回答上述问题的一个准备工作。
混沌一词有很多含义,而我们今天要讨论的是西方系统科学领域近年来研究的混沌学(Chaos Theory)。所以我们需要先把脑海里面关于混沌的各种先入为主的理解放一放,等我们搞清楚混沌学中的混沌是什么意思的时候,我们再返回来讨论各种混沌概念之间的关系。
混沌学和控制论有很密切的关系,我们上次讨论中提到控制论把吸引子分成三类:定常吸引子,周期吸引子和奇异吸引子。而奇异吸引子的行为就是具有混沌特征的。
与其给混沌下一个抽象的定义,不如我们通过一个反馈环路的例子引导出一个直观的理解。在这个例子中我们会运用到一些简单的数学,对于数学有恐惧心理或者抵触心理的朋友务必克服一下,可以放慢阅读的速度,但是尽量有耐心把例子要表达的机理看懂。我们所用到的数学应该不超出小学初中的简单范畴。
我们这次要看的例子是生态学中一个著名的虫口模型,又称为罗杰斯特映射(Logistic Map)。这个模型可以用来描述一个种群数量随着时间的变化。以人口为例,我们知道影响人口数量的因素一方面是人的生育能力,另一方面是环境对于人口的限制。而当人口很少的时候,往往环境的限制是比较弱的,而当人口比较多的时候,环境的限制就会比较明显。
基于这种理解,我们可以把上个年度和下个年度之间的人口数量关系建模成下图这样的映射关系。
061301.jpg
横坐标x(n)代表某年度的人口,纵坐标x(n+1)代表下个年度的人口。图中蓝色的曲线代表下年度人口和上年度人口之间的映射关系。
山西-阳光之旅:这个图看了几遍还是不太懂。
北京-坤山:嗯,看这个图的方法是,假设一个本年度的人口数,比如S0,然后从横轴上出发通过蓝色曲线去找对应的纵轴的映射值,就是下一个年度的人口数。
S1,蓝色曲线代表两个年度的人口之间的关系。
从这个映射关系我们可以看到,当上个年度人口比较少的时候,下个年度人口会相对有所增加,而当上年度人口比较多的时候,下个年度人口会相对有所下降。这符合我们前面对于环境限制人口的分析。
如果用数学公式表达这种年度之间的人口变化关系,可以写成这样:
061302.jpg
其实是个一元二次方程。其中的k基本上可以对应人口的出生率,即假如不考虑环境因素下,下年度和上年度的人口增长比例。
在上图中k=2,表现为原点处曲线的斜率。在这个模型中k的取值范围是1到4,X的取值范围是0到1。即人口值是一个归一化之后的小数数值。
山西-阳光之旅:这个K线不理解还有横线。
北京-坤山:K线不理解没关系。横线指的哪个线?
云卷云舒:他说为什么要横着划到k线。
北京-坤山:
061303.jpg
这横线吗?
因为是要从S1求S2,必须把S1当成是横轴值对待,这个横线就是把S1转换为横坐标的一个辅助线。
S2求S3也是一样的道理。中间的那条斜线,不是K线,是角平分线。
好的,我们继续。
注意上面的公式中,人口的数量依赖于人口的数量。这构成了一个非常简单的反馈环路。也可以说这是一个重入模型,递归模型,自指模型。
从控制论角度看,我们这里的研究对象就是一个人群和他们生存环境组成的系统,而我们区分的状态空间比较简单,只是这个人群的个体数量。所以系统的状态空间是一个一维的数字空间。这里没问题吧,状态空间是0到1的实数。系统就是这个生态环境,区分的状态只是这个生态环境中的人口。
武汉涅槃的火花:Xn为什么取值0-1?
北京-坤山:这个是为了计算方便,做了一个归一化。
金华--默:就是坐标图上的红线吗?
北京-坤山:红线是辅助线,状态值对应的是横坐标和纵坐标。
山西-阳光之旅:明白了谢谢。
北京-坤山:这个图是一个年度的状态和下一个年度的状态之间的映射关系。
武汉涅槃的火花:既然是年度映射,应该都等于1啊。
北京-坤山:映射关系是一个函数关系,即本年度不同的人口,下一个年度会有不同的结果。
武汉涅槃的火花:xn=1,2,3,4,5……
北京-坤山:不是这个意思,n代表的是年度。人口是0到1之间的一个小数值。比如对于中国的人口,我们可以用20亿作为分母,归一化一下,就成小数了。
云卷云舒:x。
武汉涅槃的火花:也就是说1是极限值。
云卷云舒:对。
北京-坤山:是的。
武汉涅槃的火花:环境容纳极限人口。
北京-坤山:嗯,可以这样理解。下面我们就来看看这个反馈环路可以产生哪些动态行为。
上图中的红色线代表了一种人口数量变化的可能性,即假设初始人口为S0,通过映射关系求得下个年度人口为S1,然后再次映射得到再下一个年度为S2,依次类推。这样反复的应用上面的重入映射模型,最终人口将趋向于一个稳定值S3。也就是说当人口变成S3时,再怎么映射都一直等于S3了。而且这个映射曲线有个特点就是:无论我们的初始人口取什么样的值,反复应用这个模型后,最终人口都会趋向于S3。
大家可以试试。
用控制论的术语说,这个系统在状态S3上存在一个定常吸引子。如果我们把人口的数量随时间的变化画出来,则看起来和下图类似:
061304.jpg
李海榕:s3是这个系统的极限吗?
北京-坤山:不是极限,是一个稳定态。比如上面那个图里面就有些年度的人口会超过S3,无论初值等于多少,最终都会趋向于S3。
李海榕:哦,超过之后就会回头。
北京-坤山:是的。这个是由映射关系决定的。
下面我们假设人口的出生率有所增加,k从2变成了3.2,映射关系图变为下图,蓝色的曲线更加“陡峭”了:
061305.jpg
这个图和上面的很类似,不过k值变大了,所以更加凸起了。
但是如果求解人口的变化趋势,则会发现相对于上面的那个图有了比较大的变化。这种情况下,从任意一个初始人口状态出发,最终的人口不会再停留在一个固定值的水平上,而是会在两个数值之间震荡变化。
就像上面图中红线画的那样,最终的稳定态是在X2和X3之间震荡。如果我们绘制人口随时间的变化,则会看到:
061306.jpg
用控制论的术语说,这个系统存在一个周期吸引子。而且这个周期吸引子由两个状态组成。随着k值的继续增加,周期吸引子中的状态数量还可能增加,比如下图就是有四个状态组成的周期吸引子(k=3.52)。
061307.jpg
人口在四个值之间周期变化。
继续增加k,还会出现8个状态的周期吸引子,16个状态的。。。比较有意思的是如果我们继续增加k的大小,当k≥3.57的时候,系统的吸引子会进入一种混沌状态。
即人口随时间的变化不再具有任何周期重复的特性,随时间的变化人口会在一定的上限和下限之间进行不重复,没有周期变化,看起来好像完全随机一样。
061308.jpg
金华--默:混沌?
北京-坤山:在控制论中称这种吸引子为奇异吸引子。因为看起来没有任何可见的规律了,所以叫做混沌。
山西-阳光之旅:是无规则的?
北京-坤山:其实还是有规则的,只是看起来没有规律似的。
山西-阳光之旅:怎么解释。
北京-坤山:毕竟这个看似无规律的行为是一个简单映射规则导致的。如果我们总结一下上面系统的吸引子中的状态随着k值的变化,则可以绘制出所谓的状态空间分岔图来:
061309.jpg
这个图大家也理解一下啊。
李海榕:只是我们很难简单地看到规律而已。
山西-阳光之旅:是一种视觉中错觉?
北京-坤山:具体怎么解释,我们慢慢来。上图中横坐标代表k的取值,纵坐标是吸引子中的最终状态。这个图可以理解是什么意思吗?
山西-阳光之旅:那不成了阴阳卦象了。
北京-坤山:大家理解能力都太好了,我还以为这个图不好理解。我们可以看到随着k值增加,系统的吸引子从单值的定常吸引子,突变进入二值的周期吸引子,再突变进入四值的周期吸引子,八值的周期吸引子。。。并最终在k=3.57处进入奇异吸引子的混沌状态,吸引子中的状态数量突变为无穷多。之后,随着k值的进一步变大,奇异吸引子的状态覆盖范围逐渐扩大,并最终在k=4时覆盖整个0到1的状态空间。
山西-阳光之旅:越来越复杂复杂到最后是啥种状态。
北京-坤山:用我们的人口模型的语言描述,随着出生率k的增加,多年后人口的状态会出现很多种不同的稳态情况。
当k比较小的时候,人口最终会稳定在一个固定水平上(定常吸引子)。
随着k的增加,人口最终会处于一种周期变化的状态(周期吸引子),不再稳定在单一的状态上。随着k值进一步增加,人口会突然进入混沌状态,即随着时间的推移,人口不再稳定在任何固定数值上,也不会呈现任何周期性,而是在一定的范围内,以一种看似随机的过程变化着(奇异吸引子)。
这里值得指出的是,上面看到的所有这些复杂的人口行为,都是由一个非常简单的反馈模型驱动的。
如果我们把上面模型中的出生率kX理解为一种系统内部的增益能力,把(1-X)理解为一种抑制能力,那么我们可以说,随着增益和抑制能力的强度变化,系统会自动涌现出定常,周期,和混沌等众多种吸引子状态,从而表现出异常复杂的行为。如果比较抽象的理解,k对应着系统内部的一种能量或者能力的东西。k比较大的时候,就好像内部既有很强的增益,又有很强的抑制一样。
武汉涅槃的火花:电子的位置,乃至宇宙物质。因为人多而混沌么。
金华--默:那就是k 随着变大,人口就会有非常多的可能性。
北京-坤山:这种情况往往会导致混沌。
豆子:分裂比较严重,就精神错乱了。
北京-坤山:有点儿像阴阳都比较强的高能量状态。当系统进入混沌状态时,对于一个不了解系统背后规律的观察者来说,系统看起来就像是在做随机运动一样。这不得不让我们怀疑,目前科学所理解的随机性,到底是因为我们不了解规律而产生的错觉,还是宇宙本体的一种特征。
金华--默:混乱?
北京-坤山:关于随机性的争论也是20世纪初,量子物理学家和爱因斯坦的主要争论所在。爱因斯坦曾经有一句名言:“我相信上帝不掷骰子”。说明他不相信本质上的随机性。
山西-阳光之旅:在同一时间段的不同阶段变化的是混沌吸引子,老人,小孩,男人 女人,青年就业的严重失调等等。
北京-坤山:虽然目前的科学界基本上公认了量子力学中的随机性是宇宙本质的现象,但是我们刚刚看到的混沌的例子似乎在支持爱因斯坦的直觉。混沌的例子还有一个深刻的启示,即确定性和不可预测性可以同时存在。
虽然上面的例子中规律是简单确定的,但是当系统进入混沌状态后,系统的行为还是不可预测的。这对于一般人来说感觉不可理解,既然公式都知道了,那么任何一个时刻的人口数量不就完全确定了吗?
其实不然,从纯实际的角度出发,我们对于系统的初值的衡量总会是有一点儿误差的,模型本身也会有误差,而混沌系统因为系统增益非常大,所以会不断的放大这种误差,从而使得初始的微小的区别,在多次重入后,变成天壤之别。
这也就是人们常说的蝴蝶效应:某地上空一只小小的蝴蝶扇动翅膀而扰动了空气,长时间后可能导致遥远的彼地发生一场台风,以此比喻长时期大范围天气预报往往因一点点微小的因素造成难以预测的严重后果。失之毫厘谬以千里。
061310.jpg
这个图试图说明初值的微小差别,一段时间后会有非常大的不同结果。
武汉涅槃的火花:测不准。
北京-坤山:测不准原理好像说的还不是这个意思,我们后面应该会讨论测不准原理。
山西-阳光之旅:就好像人才出生到老年的思想时时在变化,在思想变化的过程中我的身体也随着变化。
北京-坤山:这种对初值的敏感性,导致了具有确定性规律的混沌系统也是不可预测的结果。
山西-阳光之旅:在这变化的过程中就是不确定性。
北京-坤山:阳光好像没有理解混沌的例子。
山西-阳光之旅:变化是确定性。
北京-坤山:别急着抽象,先理解一下那个例子。
关于确定性和随机性的争论其实具有非常深刻的哲学和现实意义。对于一个人来说,相信宇宙是确定的,和相信宇宙是随机,会导致非常不同的人生观和价值观。相信确定性的人会对宇宙产生一种敬畏感,但是同时又可能会导致听天由命的消极心理。而相信随机性的人会有更多的创造活力,但又可能会不信因果,从而陷入为所欲为的误区。当我们从混沌的角度重新审视上面的问题时,我们会获得更深刻的一些启示,即虽然宇宙的规律可以是确定性的,即有因果可循,但是由于系统处于混沌状态,所以这种确定性的结果又是不可完全预测的。
山西-阳光之旅:芭蕉扇的效果和蝴蝶效应是否相似。
北京-坤山:如果从二阶控制论的角度进一步反思,那么能够做预测的主体,其实也是系统的一个部分,而他做预测活动本身就已经在干扰系统的运行,从而影响了他的预测的准确度。在混沌和二阶控制论的主客体合一的体系中,确定性(规律)和不可预测性(神秘)可以完美的共存。自然界中大部分系统都处于混沌的奇异吸引子中。
一些常见的例子如:天气系统,生态系统,免疫系统,神经系统,股票系统,城市交通,公司团队等。
奇异吸引子的特点是它既有吸引子的模式的特征,又有混沌的不可预测的特征。比如我们都知道天气的变化是有春夏秋冬的,也都知道大概北京夏天的温度在什么水平上,但是让我们准确的预测7天后的温度就是非常难以做到的一个事情。
再比如我们都知道张三长得什么样子,性格有哪些特点,但是我们却无法确定性的知道张三对于下个挑战的具体反应是什么。在心电图分析领域,科学家们发现心电图都是带有混沌特征的图形,意味着心脏的运动是一种混沌吸引子。
金华--默:模糊模式?
北京-坤山:科学家们发现,当心电图中的混沌现象消失时,即奇异吸引子变成周期吸引子时,往往意味着病人很快会出现心肌梗死。为此有些西方科学家提出了所谓的“混沌的边缘”的说法,认为自然界,尤其是生物系统大多处于混沌的边缘,即处于奇异吸引子的状态中。
豆子:心电图应该是周期的吧!
山西-阳光之旅:应该是难得糊涂的假象迷糊。
北京-坤山:心电图和四季天气一样,都是奇异吸引子。即有周期模式可循,又有不确定的成分。就是说它不会精确的进行周期运动,
豆子:就是测不准具体的某一跳怎么跳?
金华--默:心电图一跳一跳的,不是周期吗?
北京-坤山:其中总有一些混沌的不可预测的运动部分。那你说天气是周期的吗?
豆子:这么说精确的周期运动不存在。
金华--默:大的是周期吧。
北京-坤山:一样的道理。心脏运动也是这样的,有大周期,也有混沌的成分,所以是奇异吸引子。
金华--默:周期里面的混沌。
北京-坤山:是的。如果完全混沌就没有吸引子了。
山西-阳光之旅:就好像我们现在就在奇异吸引子的环境里生存。
金华--默:大系统看有周期,小的看不出来就是混沌?
北京-坤山:就像我们刚才的例子里面,当k=3.57的时候,人口还是会在一定范围内变化的,这个范围本身是个吸引子,只不过范围内的行为时混沌的。
豆子:大周期小混沌。
武汉涅槃的火花:人口模型是一个把人口总量当个体研究对象,就会有规律性和混沌状态的共存。只要继续不断的细分研究个体,乃至研究K的不同点,(1-Xn)的不同点,混沌会越来越少,规律会越来越显现化。
北京-坤山:不会的。混沌是系统本有的特征,不是研究的不够细致导致的。
061311.jpg
这个地方我们再深入一下啊。红色箭头的地方就是一个奇异吸引子的例子。
山西-阳光之旅:规律会越来越显现化混沌会越来越少好像就会发生地球的板块运动这是啥个概念啊。
北京-坤山:本身人口的变化范围是受限的,所以说这里有一个吸引子。但是同时人口在这个范围内变化的过程是看似随机的混沌的,带有周期特征的奇异吸引子不过是上面这个情况的一个变化。即,系统的状态受限在一个大概周期的范围内,但是在这个范围内的行为时混沌的。
武汉涅槃的火花:有点类似那个二维到十二维的道理。
山西-阳光之旅:不可捉摸的看似无规则实则井然有序的在做不可预测的运动。
北京-坤山:心脏的情况就是这样的,在一个大概周期的范围内运动,但是在这个范围内的行为时混沌的。
豆子:哦,关键是观察者观到哪一层。
北京-坤山:如果这种混沌的行为消失,很快这个人就会心肌梗死了。
豆子:观到就有周期的,没观到就是混沌的。
北京-坤山:是的,换句话说我们看心电图关心的都是周期,其实细节里面的噪音更重要。“噪音”就是混沌导致的看似随机的行为。
山西-阳光之旅:这可能是人类研究到现在为止的最高理解能力了。
云卷云舒:活力的体现。
北京-坤山:是的,我理解应该是能量的体现。
豆子:混沌里实际还是有周期,细观就有。
北京-坤山:就是中医所谓的神和气,我猜测。
山西-阳光之旅:就是说能看到人却看不到人的思想在想啥?
武汉涅槃的火花:大趋势是周期性的,但结果具有不确定性。我知道你明天肯定要出门上班,就是不知道是几点几分几秒。
北京-坤山:混沌里面没有周期。为此有些西方科学家提出了所谓的“混沌的边缘”的说法,认为自然界,尤其是生物系统大多处于混沌的边缘,即处于奇异吸引子的状态中。在混沌的边缘上,奇异吸引子即具有一定的模式可循,同时又保持了不可预测的生命活力。太多的模式会导致机械性,太多的混沌会导致完全无序。
同时从控制论的角度看,一个生物系统内部必须具有足够多的内部状态才能有足够的复杂度去应对外界的各种变化,保证这个生命体的相对稳定。而奇异吸引子相对于定常吸引子和周期吸引子来说,为生物提供了大量的内部状态。换句话说太机械的系统,应变能力很差。
综合我们前几次的讨论,我们可以看到控制论的反馈环路即可以产生具有目标特征和模式特征的吸引子,又可以产生混沌的,不可预测的生命力。这如同生命的两个方面一样,互相依存,互相转化,互相制约。
山西-阳光之旅:达到生物体的平衡状态。
豆子:混沌也是有规律的,观到就有。
美国-清辞:我们的头脑习惯找规律,看到混沌有点不知如何操作了。
北京-坤山:混沌就是不太关心规律了,物来则应,过去不留了。假如我们把系统对应到人脑上,把一种状态看成是一个观点,那么定常吸引子就是一个死心眼,周期的好点儿,但是也是比较机械的。只有混沌的奇异吸引子是可以处于很多个状态,而且是不可预测的。
今天的内容完了。

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